Question

已知：如圖六，拋物線的頂點為點D，與y軸相交于點A，直線y＝ax＋3與y軸也交于點A，矩形ABCO的頂點B在此拋物線上，矩形面積為12．

（1）求該拋物線的對稱軸；

（2）⊙P是經過A、B兩點的一個動圓，當⊙P與軸相交，且在軸上兩交點的距離為4時，求圓心P的坐標；

（3）若線段DO與AB交于點E，以點 D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似，如果有可能，請求出點D坐標及拋物線解析式；如果不可能，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵直線y＝ax＋3與y軸交于點A，

∴點A坐標為（0，3）……………………………………………………………………1分

∴AO＝3，∵矩形ABCO的面積為12，∴AB＝4………………………………………1分

∴點B的坐標為（4，3）∴拋物線的對稱軸為直線x＝2 ……………………………1分

（2）∵⊙P經過A、B兩點，

∴點P在直線x＝2上，即點P的坐標為（2，y）……………………………………1分

∵⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點的距離為4

又∵AB＝4，

∴點P到AB的距離等于點P到y軸的距離為2………………………………………1分

∴點P的坐標為（2，1）或（2，5）……………………………………………………2分

（3）①設△DAE∽△DAO，則∠DAE＝∠DAO，與已知條件矛盾，此情況不成立．

過點D作DM⊥y軸，垂足為點M，DN⊥x軸，垂足為點N．………………………1分

設點D坐標為（2，y），則ON＝DM＝2，DN＝OM＝y，AM＝y－3

②設△DAE∽△DOA，則∠DAE＝∠DOA，∴∠DAM＝∠DON ……………………1分

∵∠DMA＝∠DNO＝90°，∴△DAM∽△DON ………………………………………1分

∴，∴，  ∴   ∴（舍），

∴點D坐標為（2，4） …………………………………………………………………1分

設拋物線解析式為

∵頂點坐標為（2，4），∴m＝ －2，k＝4，則解析式為

將（0，3）代入，得a＝，∴拋物線解析式為．…………1分