Question

如圖，已知⊙O的半徑為5，銳角△ABC內接于⊙O，BD⊥AC于點D，AB=8，則tan∠CBD的值等于（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  4

  5

• C、

  3

  5

• D、

  3

  4

Answer 1

分析：過B作⊙O的直徑BM，連接AM；由圓周角定理可得：①∠C=∠AMB，②∠MAB=∠CDB=90°；由上述兩個條件可知：∠CBD和∠MBA同為等角的余角，所以這兩角相等，求出∠MBA的正切值即可；
過A作AB的垂線，設垂足為E，由垂徑定理易求得BE的長，即可根據勾股定理求得OE的長，已知∠MBA的對邊和鄰邊，即可求得其正切值，由此得解．

解答：解：過B作⊙O的直徑BM，連接AM；
則有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C；
∴∠MBA=∠CBD；
過O作OE⊥AB于E；
Rt△OEB中，BE=

1

2

AB=4，OB=5；
由勾股定理，得：OE=3；
∴tan∠MBA=

OE

BE

=

3

4

；
因此tan∠CBD=tan∠MBA=

3

4

，故選D．

點評：此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理的綜合應用能力；能夠將已知和所求的條件構建到同一個直角三角形中，是解答此題的關鍵．