Question

如圖，在直角坐標系中，以點M（3，0）為圓心，以6為半徑的圓分別交x軸的正半軸于點A，交x軸的負半軸交于點B，交y軸的正半軸于點C，過點C的直線交x軸的負半軸于點D（-9，0）
（1）求A，C兩點的坐標；
（2）求證：直線CD是⊙M的切線；
（3）若拋物線y=x²+bx+c經過M，A兩點，求此拋物線的解析式；
（4）連接AC，若（3）中拋物線的對稱軸分別與直線CD交于點E，與AC交于點F．如果點P是拋物線上的動點，是否存在這樣的點P，使得S_△PAM：S_△CEF=

3

：3？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（注意：本題中的結果均保留根號）

Answer 1

分析：（1）已知了M的坐標和圓的半徑即可求出A點坐標，連接MC可在直角三角形OMC中，用勾股定理求出OC的長，即可得出C點的坐標．
（2）連接MC，證MC⊥CD即可．根據OD的長和OC的長，不難得出∠ODC=30°，同理可在直角三角形OCM中，求出∠OMC=60°，由此可得出∠DCM=90°，由此可得證．
（3）將M、A的坐標代入拋物線中求解即可．
（4）本題可先求出三角形CEF的面積，然后根據兩三角形的面積比求出三角形PAM的面積，由于AM是定值，根據三角形PAM的面積即可求出P點的縱坐標的絕對值，代入拋物線中即可求出P點的坐標．

解答：解：（1）連接CM，由題意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6
OA=OM+MA=3+6=9
A（9，0）
∵OC=

MC2-OM2

=3

3

∴C（0，3

3

）

（2）證法一：
在Rt△DCO中，∵DC=

DO2+CO2

=6

3

在△DCM中，∵CM²+DC²=144
DM²=（DO+OM）²=（9+3）²=12²=144
∴CM²+DC²=DM²
∴△DCM直角三角形．
∴MC⊥DC，而MC是⊙M的半徑
∴CD是⊙M的切線．
證法二：
在Rt△COM中，∵sin∠MCO=

OM

CM

=

1

2

，
∴∠MCO=30°
在Rt△DOC中，∵tan∠DCO=

DO

CO

=

9

3 3

=

3

，
∴∠DCO=60°
∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90°
∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半徑．

（3）由拋物線y=x²+bx+c經過點M（3，0）和點A（9，0），可得：

9+3b+c=0 81+9b+c=0

解得：

b=-12 c=27

∴拋物線的解析式為：y=x²-12x+27．

（4）存在
設拋物線的對稱軸交x軸于點H
在（2）中已證：
∴∠DCO=60°，∠CDO=30°
∵拋物線的對稱軸平行于y，
∴∠CEF=∠DCO=60°
∵OD=OA=9，
∴CO垂直平分AD
∴∠CAO=∠CDO=30°
在Rt△AFH中，∠AFH=60°
∴∠EFC=60°
∴△CEF是等邊三角形
過點C作CG⊥EF于點G，則CG=6
可得：EF=4

3

，S_△CEF=

1

2

EF•CG=

1

2

×4

3

×6=12

3

；
若點P在軸的上方，設點P坐標為（x，y），S_△PAM=

1

2

AM•y=3y，S_△PAM：S_△CEF=

3

：3
∴3y：12

3

=

3

：3，
解得：y=4．
當y=4時，即x²-12x+27=4，解得x=6±

13

∴P（6-

13

，4）或（6+

13

，4）．
②若點P在x軸上，則點P與點M或與點A重合，此時構不成三角形．
③若點P在x軸下方，設點P的坐標為（x，y）
S_△PAM=

1

2

AM•（-y）=-3y，S_△PAM：S_△CEF=

3

：3
∴-3y：12

3

=

3

：3
解得：y=-4
當y=-4時，即x²-12x+27=-4，解得x=6±

5

．
∴P（6-

5

，-4）或（6+

5

，-4）．
∴這樣的點共有4個，
∴P（6-

13

，4）或（6+

13

，4）或（6-

5

，-4）或（6+

5

，-4）．

點評：本題考查了圓和二次函數的相關知識，難度較大．