Question

如圖，在平面直角坐標系中，點關于軸的對稱點為，與軸交于點，將△沿翻折后，點落在點處．

（1）求點、的坐標；

（2）求經過、、三點的拋物線的解析式；

（3）若拋物線的對稱軸與交于點，點為線段上一點，過點作軸的平行線，交拋物線于點．

①當四邊形為等腰梯形時，求出點的坐標；

②當四邊形為平行四邊形時，直接寫出點的坐標.

Answer 1

解：（1）如圖所示，∵點關于軸的對稱點為，與軸交于點，

∴⊥軸于，，

．…………………………1分

∴．

∴，

由題意可知 ， ．

∴．

過點作軸于，軸于，

在中， ,   ．

由矩形得．

∵點在第四象限∴．……………………………2分

   （2）設經過、、三點的拋物線的解析式為.

        依題意得 ………………………3分

        解得 ∴此拋物線的解析式為．………………………4分

（3）∵，

∴點為拋物線的頂點．

∴直線為拋物線的對稱軸，交于，

由題意可知 ，，

∴，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，．

∴．

①當點在上時，四邊形為等腰梯形.

∵∥∥，與不平行，∴四邊形為梯形.

要使梯形為等腰梯形，只需滿足.

∵,∴點在上.

由、求得直線的解析式為.

又∵點在拋物線上，∴.

解得（與點重合，舍）.∴點橫坐標為.

由、求得直線的解析式為.

∵點在上，∴ ．∴．………6分

②當點在上時，四邊形為平行四邊形，此時點坐標為. ……………………8分

綜上所述，當時，為等腰梯形；當時，為平行四邊形