Question

（2013•濰坊）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以對角線BD為直徑作⊙O，分別與BC，AD相交于點E，F．
（1）求證：四邊形BEDF為矩形；
（2）BD²=BE•BC，試判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠DEB=∠DFB=90°，根據平行四邊形的性質推出AD∥BC，推出∠FBC=∠DFB=90°，∠EDA=∠BED=90°，根據矩形的判定推出即可；
（2）根據已知求出△BED∽△BDC，推出∠BDC=∠BED=90°，根據切線判定推出即可．

解答：（1）證明：∵BD為⊙O直徑，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠FBC=∠DFB=90°，∠EDA=∠BED=90°，
∴∠FBC=∠DFB=∠EDA=∠BED=90°，
∴四邊形BEDF為矩形；
（2）解：直線CD與⊙O的位置關系式相切，
理由是：∵BD²=BE•BC，
∴

BD

BE

=

BC

BD

，
∵∠DBC=∠CBD，
∴△BED∽△BDC，
∴∠BDC=∠BED=90°，
即BD⊥CD，
∴CD與⊙O相切．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定，相似三角形的性質和判定，切線的判定的應用，主要考查學生的推理能力．