Question

在一塊矩形板ABCD上進行裝飾，己知AB=2.5m，BC=4m，先在矩形板上作一拋物線，使拋物線經過B、C兩點，且其頂點在AD上，再在拋物線內作另一矩形EFHG，使這矩形的一邊FH在BC上，另兩點E、G在拋物線上，裝飾拋物線內矩形EFHG邊框時，打算使用一種單價為每米30元的嵌條，由于此矩形尺寸沒定，為了滿足各種設計情況的需要，在作材料預算時（不計損耗），這種嵌條的預算金額至少應為多少？請建立適當的直角坐標系解決問題．

Answer 1

解：以BC所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸我y軸，建立平面直角坐標系，依題意設拋物線解析式：
y=ax²+2.5，
把c（2，0）代入得，a=-，
∴y=-x²+2.5；
設FH=2m，則H（m，0），G（m，-m²+2.5）
即HG=-m²+2.5；
矩形EFHG的周長為：4m+2（-m²+2.5）=-（m-）²+，
由函數圖象知
∴當m=時，周長最大，
∴這種金額的預算金額至少為×30=246元．
分析：本題涉及拋物線與矩形的問題，應根據拋物線的位置，適當建立坐標系，求拋物線的解析式，可設小矩形中點H的坐標，從而，表達小矩形的周長，運用二次函數性質求最小值．
點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．