Question

【題目】如圖，在中，，動點從點出發，以的速度沿射線運動，同時動點Q從點C出發，以2cm/s的速度沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設P點運動時間為t秒，的面積為．

(1)直接寫出的長：= ；

(2)求出關于的函數關系式，并求出當點運動幾秒時，；

(3)作于點，當點、運動時，線段的長度是否改變？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）AC=cm；（2）當點P運動（2+2）秒時，S△PCQ=S△ABC ；（3）線段DE的長度不會改變．證明見解析.

【解析】

（1）利用勾股定理求解即可；
（2）分兩種情形當0＜t≤4時，當t＞4秒時，分別構建方程即可解決問題；
（3）過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M，利用全等三角形的判定和性質證明四邊形PEQM是平行四邊形，求出DE是定值即可解決問題．

解：（1）∵AB=BC=8cm，∠ABC=90°，

cm，

（2）當0＜t4時，P在線段AB上，此時CQ=2t，PB=8﹣2t，

∴，

當t＞4秒時，P在線段AB的延長線上，此時CQ=2t，PB=2t﹣8，

，

∵S△ABC=，

∴當t4時，S△PCQ=

整理得t2﹣4t+16=0，

∵△＜0，

∴此方程無實數解；

當t＞4時，S△PCQ=，

整理得t2﹣4t﹣16=0，

解得（負值已舍去），

∴當點P運動（）秒時，S△PCQ=S△ABC；

（3）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．

證明：如圖2，過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M，

∵PE⊥AC，QM⊥AC，
∴∠AEP=∠M=90°，
∵AP=CQ，∠A=∠ACB=∠MCQ=45°，
∴△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四邊形PEQM是平行四邊形，

∴DE是對角線EM的一半，

又∵EM=AC=8，

∴DE=4，

∴當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變；

同理，當點P在點B右側時，DE=4，

綜上所述，當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．