Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB為⊙O的直徑．
（1）若AD=2，AB=BC=8，連接OC、OD．
①求△COD的面積；
②試判斷直線CD與⊙O的位置關系，說明理由．
（2）若直線CD與⊙O相切于F，AD=x（x＞0），AB=8．試用x表示四邊形ABCD的面積S，并探索S是否存在最小值，寫出探索過程．

Answer 1

分析：（1）①根據S_△COD=S_梯形ABCD-S_△AOD-S_△BOC來解答；
②求直線CD與⊙O的圓心間的距離，然后根據此距離判斷直線CD與⊙O的位置關系；
（2）根據勾股定理求得關于x的方程，然后求二次函數的最值即可．

解答：解：（1）①S_△COD=S_梯形ABCD-S_△AOD-S_△BOC
=

1

2

(AD+BC)•AB-

1

2

AD•AO-

1

2

BC•BO
=

1

2

(2+8)×8-

1

2

•2×4-

1

2

•8×4=40-4-16=20．
（或先證明△COD是直角三角形進而求其面積．）
②過D作DE⊥BC，E是垂足，從而四邊形ABED是矩形．
BE=AD=2，CE=6，DE=AB=8．
在Rt△CDE中，CD=10．過O作OF⊥CD于F，
由S_△COD=

1

2

OF•CD=20，可得OF=4，
表明點O到CD的距離等于⊙O的半徑，故直線CD與⊙O相切；

（2）在四邊形ABCD中，
∵AD=x＞0，設BC=y，則CD=x+y，CE=|y-x|，
∴在Rt△CDE中，根據勾股定理，得
（y-x）²+64=（x+y）²，于是y=

16

x

，x＞0．
進而S=

1

2

(AD+BC)•AB=

1

2

(x+

16

x

)×8=4(x+

16

x

)，x＞0．
∵x＞0，x+

16

x

=(

x

)2-2

x

•

4

x

+(

4

x

)2+8=(

x

-

4

x

)2+8，
∴當

x

-

4

x

=0，x=4時，x+

16

x

有最小值8，從而S有最小值32．

點評：本題主要考查的是二次函數的最值、直線與圓的位置關系．