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(1999•黃岡)如圖,圓O是以AB為直徑的△ABC的外接圓,D是劣弧的中點,連AD并延長與過C點的切線交于點P,OD與BC相交于E;
(1)求證:OE=AC;
(2)求證:
(3)當(dāng)AC=6,AB=10時,求切線PC的長.

【答案】分析:(1)由于D是弧BC的中點,利用垂徑定理的推論,可證OD⊥BC,而AC⊥BC,故OD∥AC,又O是AB中點,利用平行線分線段成比例定理的推論,可得BE:CE=OB:OA,從而可知E是BC中點,即OE是△ABC的中位線,利用三角形中位線定理可證OE=AC;
(2)利用兩組角對應(yīng)相等,易證△PCD∽△PAC,那么可得2組有關(guān)比例線段,利用等式性質(zhì)可證;
(3)由AC=6,AB=10,利用勾股定理可求BC,進(jìn)而求出BE、OE、DE,再利用勾股定理可求BD2、AD2,從而解出AD、BD、CD,結(jié)合(2)中的結(jié)論,利用比例性質(zhì),可求出DP、AP,那么可求CP2,從而求出CP.
解答:(1)證明:∵AB為直徑
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又D為中點,
∴OD⊥BC,OD∥AC,
又O為AB中點,
;(4分)

(2)證明:連接CD,PC為切線,
由∠PCD=∠CAP,∠P為公共角,
∴△PCD∽△PAC,(6分)

又CD=BD,
;(8分)

(3)解:∵AC=6,AB=10,
∴BC=8,BE=4,OE=3,
∴DE=2,
∴BD2=DE2+BE2=20,(9分)
∴AD2=AB2-BD2=80,
∴AD=4,(10分)
CD=BD=2
由(2)
,(11分)
∴CP2=DP•AP=45×5,
∴切線PC=15.(12分)
點評:本題利用了垂徑定理的推論、平行線分線段成比例定理的推論、三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等式的性質(zhì)、勾股定理、比例的性質(zhì)、切割線定理等知識.
練習(xí)冊系列答案
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A.1:2
B.1:4
C.4:9
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