Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，O1在⊙O₂上，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于B，延長BO₁、CA交于點P，PB與⊙O₁交于點D．

(1)求證：AC是⊙O₁的切線；

(2)連結AD、O₁C，求證：AD∥O₁C；

(3)如果PD=1，⊙O₁的半徑為2，求BC的長

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連結O1 A． ∵　BC切⊙O1于B，∴　O1B⊥BC． ∴　O1C是⊙O2的直徑．∴　O1A⊥AC．∴　AC是⊙O1的切線． (2)證法一：連結AB交O1C于N，O1C與⊙O1的弧交于點M，則有=． ∴　=2∴　∠ADB=∠CO1B．∴　AD∥O1C． 證法二：∵　O1O2平分AB，O1D=O1B， ∴　O1N∥AD．即AD∥O1C． 證法三：∵　BD是⊙O1的直徑， ∴　∠DAB=90°．即AB⊥AD． 又∵　AB⊥O1C，∴　AD∥O1C． (3)解：∵　AD∥O1C，PD=1，O1D=2，∴　． 設PA=x，則AC=2x． ∵　PA·PC=PD·PB，∴　x·3x=1×5． ∴　x= ．∴　AC=． ∵　O1C垂直平分AB，∴　BC=AC= ．∴　BC的長為．

提示：

(1)要證AC是⊙O1的切線，只需連結O1A證明O1A⊥AC，則只需證O1C是直徑，由BC是⊙O1的切線．可知O1B⊥BC． 故結論得證． (2)要證AD∥O1C，途徑較多，①可證∠ADB=∠CO1B，觀察到∠ADB是圓周角．所對的弧是，∠CO1B是圓心角，所對的弧是，要證兩角相等，只需證=2，由O1A=O1B，O1O2是連心線，知=，故結論成立． ②連結AB．可證AB⊥AD，AB⊥O1C．得AD∥O1C． ③連結AB交O1C于N，證明O1N是△ABD的中位線．亦可說明AD∥O1C． (3)由題意知已知量與BC無直接關系，而觀察到BC與AC相等，AC是直線PC被平行線截得的部分，同時，AC還是割線PC的一部分，從這兩個方面可得關于AC的方程．若設AC=x，可得PA=x． 又PD·PB=PA·PC，可求得AC．