Question

（2007•日照）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E．
（1）求證：點E是邊BC的中點；
（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長度；
（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用EC為⊙O的切線，ED也為⊙O的切線可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知點E是邊BC的中點；
（2）解答此題需要運用圓切線和割線的性質和勾股定理求解；
（3）判定△ABC是等腰直角三角形時要用到正方形的性質來求得相等的邊．
解答：（1）證明：連接DO；
∵∠ACB=90°，AC為直徑，
∴EC為⊙O的切線；
又∵ED也為⊙O的切線，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即點E是邊BC的中點；

（2）解：∵BC，BA分別是⊙O的切線和割線，
∴BC²=BD•BA，
∴（2EC）²=BD•BA，即BA•2=36，
∴BA=3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC===3；

（3）解：△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵四邊形ODEC為正方形，
∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，
又∵點E是邊BC的中點，
∴BC=2OD=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．