Question

已知，如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AD是⊙O的直徑，

BC

=

CD

，∠A=30°，求∠ABC的度數．

Answer 1

分析：連接AC．利用圓周角定理、等弧所對的圓周角相等、直角三角形的兩個銳角互為余角求得∠ADC=75°；然后根據圓內接四邊形內角和是360°來求∠ABC的度數．

解答：解：連接AC．
∵AD是圓的直徑（已知），
∴∠ACD=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∵

BC

=

CD

（已知），∠A=30°（已知），
∴∠DAC=∠CAB=

1

2

∠A=15°（等弧所對的圓周角相等），
∴∠ADC=75°（直角三角形的兩個銳角互為余角）；連接BD．
∴∠ADB=60°，
∴∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60°=15°；
∴在△BCD中，BC=DC，則∠BDC=∠DBC=15°；
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+15°=105°．

點評：本題綜合考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系．在同圓或等圓中．圓心角、弦、弧中有一個量的兩個相等就可以推出其它兩個量的相對應的兩個值就相等．