Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB于點E，∠POC=∠PCE．
（1）求證：PC是⊙O的切線．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

證明：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CEO=90°，
∴∠PCE+∠OCE=90°，
∵∠PCE=∠POC，
∴∠PCE+∠OCD=90°，
∴OC⊥PC，
又∵OC為半徑，
∴PC是⊙O的切線；

（2）解：設OE=k，則AE=2k，OC=3k，
在Rt△OCE中，由勾股定理得CE=2k，
∵∠P=∠P，∠PEC=∠PCO=90°，
∴△PEC∽△CEO，
∴=，
即（2k）²=（6+2k）k，
k=0（舍去），k=1，
即OC=3k=3，
答：⊙O的半徑為3．
分析：（1）求出∠PCE+∠OCE=90°，代入求出∠PCE+∠OCD=90°，即OC⊥PC，根據切線的判定推出即可；
（2）設OE=k，則AE=2k，OC=3k，在Rt△OCE中，由勾股定理得CE=2k，證△PEC∽△CEO，得出=，得出方程（2k）²=（6+2k）k，求出方程的解即可．
點評：本題考查了切線的判定，相似三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，勾股定理等知識點的應用，主要考查學生的計算和推理能力．