Question

觀察思考：某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點P在以OP為半徑的⊙O上運動．數學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數學知識，過點O作OH⊥l于點H，并測得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米

解決問題：
（1）點Q與點O間的最小距離是______分米；點Q與點O間的最大距離是_____分米；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是_____分米；
（2）如圖3，小明同學說：“當點Q滑動到點H的位置時，PQ與⊙O是相切的．”你認為他的判斷對嗎？為什么？
（3）①小麗同學發現：“當點P運動到OH上時，點P到l的距離最小．”事實上，還存在著點P到l距離最大的位置，此時，點P到l的距離是_____分米；
②當OP繞點O左右擺動時，所掃過的區域為扇形，求這個扇形面積最大時圓心角的度數．

Answer 1

解：
（1）4，5，6；
（2）不對． ∵OP=2，PQ=3，OQ=4，且42≠32+22，即OQ2≠PQ2+OP2， ∴OP與PQ不垂直．∴PQ與⊙O不相切．
（3）①因為PQ的值永遠是3，只有PQ⊥l時，點P到直線l的距離最大，此時最大的距離是3分米； ②由①知，在⊙O上存在點P，P'到l的距離為3，此時，OP將不能再向下轉動，
如圖．OP在繞點O左右擺動過程中所掃過的最大扇形就是P'OP．連接P'P，交OH于點D，
∵PQ，P'Q'均與l垂直，且PQ=P'Q'=3，
∴四邊形PQQ'P'是矩形，
∴OH⊥PP'，PD=P'D．由OP=2，OD=OH﹣HD=1，得∠DOP=60°．
∴∠POP'=120°．
∴所求最大圓心角的度數為120°．