Question

在實數(shù)范圍內(nèi)，方程x²=-1無解，為使開方運算在負數(shù)范圍內(nèi)可以進行，我們規(guī)定i²=-1．定義一種新數(shù)：Z=a+bi（{a、b為實數(shù)}），并規(guī)定實數(shù)范圍內(nèi)的所有運算法則對于新數(shù)Z=a+bi?（{a、b為實數(shù)}）；仍然成立．例如：Z²=（a+bi）²=（a+bi）•（a+bi）=a²+2a•bi+（bi）²=a²-b²+2abi，若，則，依據(jù)上述規(guī)定，
（1）若，試求Z³的值；
（2）若，試求z²⁰⁰⁸的值．

Answer 1

解：（1）Z³=z²×z
=（--i）×（-+i）
=-（i）²
=-×（-1）
=1；

（2）z=-+i，z²=--i，z³=1，z⁴=-+i，
∵2008÷3=669…1，
∴z²⁰⁰⁸應(yīng)和z的值相等，z²⁰⁰⁸=-+i．
分析：（1）由于Z³=z²×z，把已求得的z²的值代入即可；
（2）由于z=-+i，z²=--i，z³=1，z⁴=-+i，可得到3個為一輪，依次循環(huán)．那么2008÷3=669…1，那么z²⁰⁰⁸應(yīng)和z的值相等，由此即可求解．
點評：此題主要考查了實數(shù)和代數(shù)式的運算及對知識遷移運用能力，計算分析，得到相應(yīng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．