Question

在△ABC中，∠ACB=90°，O為AC上的動點．
（1）當OA=

1

2

AC時，以O為圓心，OA的長為半徑的圓與AB交于D，連接CD（如圖），則圖中相似的三角形有

 

；
（2）當OA滿足

1

2

AC＜OA＜AC時，以O為圓心，OA的長為半徑的圓交AB于D，交AC的延長線于E（如圖）．
①請你在圖中適當添加一條輔助線，然后找出圖中相似三角形（注：相似三角形只限于使用圖中的六個字母），并加以證明；
②若⊙O的半徑為5，AD=8，求tanB．

Answer 1

分析：（1）連接CD，易得OA=

1

2

AC，且AC是圓的直徑，根據直徑所對的圓周角就得到∠CDB=90°，而∠ACB=90°，所以圖中就有三對相似三角形；
（2）①當OA滿足

1

2

AC＜OA＜AC時，連接DE，則△ADE∽△ACB．AE是圓的直徑可以得到∠ADE=90°，再根據已知∠ACB=90°，就可以證明△ADE∽△ACB了．②首先利用勾股定理求出DE，然后利用相似三角形的對應邊成比例求出tanB的值了．

解答：解：（1）△ACD∽△ABC，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD．（3分）

（2）①連接DE，則△ADE∽△ACB，理由如下：（5分）
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°．（6分）
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB．（7分）
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．（8分）
②DE=

AE2-AD2

=

102-82

=6．（9分）
由①知△ADE∽△ACB，∴

AD

AC

=

DE

BC

．（10分）
∴

AC

BC

=

AD

DE

=

8

6

=

4

3

．（11分）
∴tanB=

AC

BC

=

4

3

．（12分）

點評：此題是探究性試題，要理解OA滿足的限制條件，根據條件去探究才能正確得到結論．此題主要考查了相似三角形的判定與性質．