Question

如圖，拋物線y＝ax²－2ax－3a(a＜0)，與x軸的交于A、B兩點(點A在點B的右側)，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D

(1)求頂點D的坐標(用含a的代數式表示)；

(2)若以AD為直徑的圓經過點C、①求拋物線的解析式；

②如圖，點E是y軸負半軸上的一點，連結BE，將△OBE繞平面內某一點旋轉180°，得到△PMN(點P、M、N分別和點O、B、E對應)，并且點M、N都在拋物線上，作MF⊥x軸于點F，若線段MF：BF＝1：2，求點M、N的坐標；

③點Q在拋物線的對稱軸上，以Q為圓心的圓過A、B兩點，并且和直線CD相切，如圖，求點Q的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　∴　2分 　　(2)①令，則 　　∵點A在點B的右側 　　∴ 　　令，則 　　∴ 作于點E 　　∵AD是直徑 　　∴∠ACD＝90°∴∠OCA＋∠ECD＝90° 　　又∵∠EDC＋∠ECD＝90° 　　∴∠EDC＝∠OCA， 　　又∵∠DEC＝∠COA＝90°∴△DEC∽△COA 　　∴即　a2＝1 　　∵　 ∴a＝－1 　　∴　5分 　　②∵△OBE繞平面內某一點旋轉180°得到△PMN， 　　且△OBE是直角三角形 　　∴PM∥，PN∥ 　　設 　　則， 　　∵MF：BF＝1：2 　　∴　 　　∴　8分 　　∵旋轉，∴， 　　∴， 　　∴　10分 　　③∵在對稱軸上，設， 　　對稱軸與軸交于點，圓半徑為 　　∵△CDE中，∠DEC＝90°，DE＝CE＝1 　　∴△CDE是等腰直角三角形，即∠EDC＝45°， 　　∴∠ODC＝45° 　　設直線CD切圓Q于點H， 　　則△ODH也是等腰直角三角形 　　∴，即 　　在 　　∴ 　　　14分