Question

【題目】如圖1，把 繞點逆時針旋轉得，點，分別對應點，，且滿足，，三點在同一條直線上，連接交于點，的外接圓圓O與交于、

（1）求證：是圓O切線；

（2）如圖2連接，，若，判斷四邊形的形狀，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）平行四邊形，見解析（3）

【解析】

（1）利用旋轉的性質可得：，由三角形內角和可得=90°，即可證明是圓O切線；

（2）由等腰三角形的性質可得：，可得：，可得

由，可設，可得，故，由，可得，可得，即可判斷四邊形的形狀；

（3）計算得，

根據勾股定理列出方程：，求出x的值，即可求出，，運用相似三角形的判定可得：，利用相似三角形的性質可求出 ，根據勾股定理渴求出MG的長度，即可求出GH的長度；

（1）證明：由旋轉可知，

是⊙O的直徑

∵

又∵

∴

又∵OE是⊙O的半徑

是⊙O的切線

（2）四邊形是平行四邊形

理由如下：

由旋轉可知，

又

在中

在中

設，

由旋轉可知：

又∵

四邊形是平行四邊形

（3）四邊形是平行四邊形

由旋轉可知：

在中

在中

解得，

，

如圖，過點作于點，連接

，

在中

（取正值）