Question

如圖，AB是⊙O的直徑，M是⊙O上一點，MN⊥AB，垂足為N，P、Q分別是、上一點（不與端點重合）．若∠MNP=∠MNQ，下面結論：
①∠PNA=∠QNB；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN²=PN•QN．
正確的結論有（ ）

A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：利用等角的余角相等得到①對．利用垂徑定理，同弧所對的圓周角相等得②對．利用三角形內角和定理得③錯．利用三角形相似得④錯，⑤對．
解答：解：延長QN交圓O于C，延長MN交圓O于D，如圖：
∵MN⊥AB，
∴∠MNA=∠MNB=90°，
∵∠MNP=∠MNQ，
∴∠PNA=∠QNB，故①對；
∵∠P+∠PMN＜180°，
∴∠P+∠Q＜180°，故②錯；
因為AB是⊙O的直徑，MN⊥AB，=，
∵∠PNA=∠QNB，∠ANC=∠QNB，
∴∠PNA=∠ANC，
∴P，C關于AB對稱，
∴=，
∴=，
∴∠Q=∠PMN，故③對；
∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN，PM不一定等于MQ，
所以④錯誤，⑤對．
故選B．
點評：此題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．