Question

【題目】△ABC中，BC＞AC，CD平分∠ACB交于AB于D，E，F分別是AC，BC邊上的兩點，EF交于CD于H，

（1）如圖1，若∠EFC=∠A，求證：CECD=CHBC；

（2）如圖2，若BH平分∠ABC，CE=CF，BF=3，AE=2，求EF的長；

（3）如圖3，若CE≠CF，∠CEF=∠B，∠ACB=60°，CH=5，CE=4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）2 ; （3）.

【解析】

（1）只要證明△ECH∽△BCD，可得=，即可推出CECD=CHBC；

（2）如圖2中，連接AH．只要證明△AEH∽△HFB，可得=，推出FH2=6，推出HE=HF=，即可解決問題．

（3）只要證明△ECF∽△BCA，求出CF即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，

又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，

∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，

∴△ECH∽△BCD，

∴，

∴CECD=CHBC．

（2）解：如圖2中，連接AH．

∵BH、CH都是△ABC的角平分線，

∴AH是△ABC的角平分線，

∴∠BHC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90°+BAC=90°+∠HAE，

∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，

∴CH⊥EF，HF=HE，

∴∠CHF=90°，

∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，

∴∠HAE=∠BHF，

∵∠CFE=∠CEF，

∴∠AEH=∠BFH，

∴△AEH∽△HFB，

∴，

∴FH2=6，

∴HE=HF=，

∴EF=2．

（3）解：如圖3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．設HF=x，FN=y．

∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，

∴HM=HN=span>，CM=CN=，

∵CE=4，

∴EM=，EH=，

∵S△HCF：S△HCE=FH：EH=FC：EC，

∴x： =（y+）：4①，

又∵x2=y2+（）2，

解得y=或（舍棄），

∴CF=，

∵∠CEF=∠B，∠ECF=∠ACB，

∴△ECF∽△BCA，

∴，

∴=．