Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，直角三角尺的一條直角邊始終經過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A、B重合），另一條直角邊與BC相交于點Q，設AE的長為xcm，BQ的長為ycm．
（1）求y與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）E點滑動到何處，BQ最長？最長是多少？
（3）在（2）的情況下，猜想：以DQ為直徑的⊙O與AB的位置關系，并說明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1））根據正方形性質得出∠A=∠ABC=90°，求出∠ADE=∠BEQ，推出△ADE∽△BEQ，得出比例式，代入求出即可；
（2）得出頂點式y=-（x²-4x）=-（x-2）²+1，根據二次函數的性質得出當x=2時，y的最大值是1，即可得出答案；
（3）連接DQ，取QD的中點O，連接OE，由（2）知AE=2，求出E為AB中點，根據梯形的中位線的性質得出OE∥AD，推出OE⊥AB，根據切線的判定推出即可．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵∠DEQ=90°，
∴∠AED+∠QEB=90°，∠AED+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEQ，
∴△ADE∽△BEQ，
∴=，
∴=，
∴y=-x²+x（0＜x＜4）；

（2）∵y=-（x²-4x）=-（x-2）²+1，
a=-＜0，
∴函數有最大值，
當x=2時，y的最大值是1，
∴當AE=2時，BQ有最大值，最大值是1；

（3）以DQ為直徑的⊙O與AB的位置關系是⊙O與AB相切，
證明：
連接DQ，取QD的中點O，連接OE，
由（2）知AE=2，
∵AB=4，
∴BE=2=AE，
即E為AB中點，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD∥BQ，
∵O為DQ的中點，
∴OE是梯形ADQB的中位線，
∴OE∥AD，
∵∠A=90°，
∴∠OEB=∠A=90°，
即OE⊥AB，OE為⊙O半徑，
∴⊙O與AB相切．
點評：本題考查了二次函數的性質，相似三角形的性質和判定，梯形的中位線，平行線的性質，正方形的性質等知識點的綜合運用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目難度偏大，對學生提出較高的要求．