Question

已知一個二次函數的圖象經過A（-1，0）、B（0，3）、C（4，-5）三點．
（1）求這個二次函數的解析式及其圖象的頂點D的坐標；
（2）這個函數的圖象與x軸有兩個交點，除點A外的另一個交點設為E，點O為坐標原點．在△AOB、△BOE、△ABE和△BDE著四個三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪幾對三角形相似，并加以證明；如果沒有，要說明理由．

Answer 1

解：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
根據題意，得，
解得a=-1，b=2，c=3．
∴二次函數的解析式為y=-x²+2x+3．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
得頂點D的坐標為（1，4）
答：頂點D的坐標為（1，4）；

（2）在直角坐標平面內畫出圖形．
△AOB∽△DBE，
∵OA=1，OB=3，AB=，BD=，BE=3，DE=．
得===．
∴△AOB∽△DBE．
分析：（1）使用代入法可求解二次函數的解析式．
（2）在坐標軸上每一點的坐標都是已知，則可根據兩點間的距離公式求得每一線段的長，若在兩三角形中，三邊對應成比例，而這兩三角形相似，可推得△AOB∽△DBE．
點評：用待定系數法求函數的解析式時要靈活地根據已知條件選擇配方法和公式法．本題是一道難度較大的二次函數題，綜合考查了三角形相似的判定定理．