Question

如圖，正方形ABCD中，點E在邊AB上，點G在邊AD上，且∠ECG=45°，點F在邊AD的延長線上，且DF=BE．則下列結論：①∠ECB是銳角；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG=BE+GD中一定成立的結論有    （寫出全部正確結論）．

Answer 1

【答案】分析：根據題意∠ECB在∠BCD=90°內部，可知∠ECB是銳角；根據點E在邊AB上，點G在邊AD上，且∠ECG=45°，判斷不出AE與AG的大小；由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因為DF=BE，所以可證出GE=BE+GD成立．
解答：解：根據題意∠ECB在∠BCD=90°內部，可知∠ECB是銳角，故①正確；
根據點E在邊AB上，點G在邊AD上，且∠ECG=45°，
判斷不出AE與AG的大小，故②錯誤；
在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE=CF，
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，故③正確；
又GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD，故④正確．
故答案為：①③④．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質及旋轉和正方形的性質，注意證兩條線段相等往往轉化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在證EG=BE+GD也是考查了通過全等找出和GE相等的線段，從而證出關系是不是成立．