Question

以Rt△AOB的直角邊OA、OB為y軸，x軸建立直角坐標系，AO=b，BO=a，（a＞b），Q是邊OB上的動點，點Q不與B、O重合，點P是AB的中點．
（1）請寫出A、B的坐標；
（2）若以點O、P、Q為頂點的三角形與△ABO相似，這時的Q點能有幾個，請說明理由并分別求出相應的Q點、P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據OA、OB的值直接寫出A、B的坐標即可；
（2）求出OP=PA=PB，推出∠ABO=∠POB，求出AB，有2種情況：①∠PQO=90°，②∠QPO=90°，根據相似三角形的判定推出即可，根據P為AB中點，求出P的坐標即可，根據相似三角形性質得出比例式，代入即可求出圖2中Q的坐標．

解答：解：（1）A的坐標是（0，b），B的坐標是（a，0）．

（2）∵∠AOB=90°，P為AB中點，
∴AP=OP=PB，
∴∠POB=∠ABO．
如圖Q點有2個，
圖1中，PQ⊥OB，
則∠OQP=∠AOB=90°，
∵∠POB=∠ABO，
∴以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，
∵PQ∥OA，
∴

PQ

OA

=

PB

AB

=

BQ

OB

=

1

2

，
∴PQ=

1

2

b，BQ=0Q=

1

2

a，
即P（

1

2

a，

1

2

b），Q（

1

2

a，0）；
圖2中，∠QPO=90°=∠AOB，
∵∠POB=∠ABO，
∴以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=

a2+b2

，OP=

1

2

a2+b2

，
∴

OQ

AB

=

OP

OB

，
∴

OQ

a2+b2

=

1 2 a2+b2

a

，
∴OQ=

a2+b2

2a

，
即P（

1

2

a，

1

2

b），Q（

a2+b2

2a

，0）．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質，等腰三角形性質等知識點的應用，主要考查學生運用性質進行推理的能力．本題綜合性比較強，是一道具有代表性的題目．