Question

如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）直接寫出AB+AC與AE之間的等量關系．

Answer 1

分析：（1）根據相似三角形的判定定理得出△BDE≌△CDE，故可得出DE=DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE=CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE=AF，故AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE．

解答：（1）證明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴△BDE與△CDE均為直角三角形，
∵

BD=CD BE=CF

∴△BDE≌△CDE，
∴DE=DF，即AD平分∠BAC；

（2）AB+AC=2AE．
證明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADE=∠ADF，
在△AED與△AFD中，
∵

∠EAD=∠CAD AD=AD ∠ADE=∠ADF

，
∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE．

點評：本題考查的是角平分線的性質及全等三角形的判定與性質，熟知角平分線的性質及其逆定理是解答此題的關鍵．