Question

如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O．點E是線段DO上一點，連接CE．點F是∠OCE的平分線上一點，且BF⊥CF與CO相交于點M．點G是線段CE上一點，且CO=CG．
（1）若OF=4，求FG的長；
（2）求證：BF=OG+CF．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據條件證明△OCF≌△GCF，由全等的性質就可以得出OF=GF而得出結論；
（2）在BF上截取BH=CF，連接OH．通過條件可以得出△OBH≌△OCF．可以得出OH=OF，從而得出OG∥FH，OH∥FG，進而可以得出四邊形OHFG是平行四邊形，就可以得出結論．
解答：（1）解：∵CF平分∠OCE，
∴∠OCF=∠ECF．
∵OC=CG，CF=CF，
∵在△OCF和△GCF中，
，
∴△OCF≌△GCF（SAS）．
∴FG=OF=4，
即FG的長為4．

（2）證明：在BF上截取BH=CF，連接OH．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，∠DBC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴∠OCB=180°-∠BOC-∠DBC=45°．
∴∠OCB=∠DBC．
∴OB=OC．
∵BF⊥CF，
∴∠BFC=90°．
∵∠OBH=180°-∠BOC-∠OMB=90°-∠OMB，
∠OCF=180°-∠BFC-∠FMC=90°-∠FMC，
且∠OMB=∠FMC，
∴∠OBH=∠OCF．
∵在△OBH和△OCF中
，
∴△OBH≌△OCF（SAS）．
∴OH=OF，∠BOH=∠COF．
∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，
∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°．
∴∠OHF=∠OFH=（180°-∠HOF）=45°．
∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．
∵△OCF≌△GCF，
∴∠GFC=∠OFC=135°，
∴∠OFG=360°-∠GFC-∠OFC=90°．
∴∠FGO=∠FOG=（180°-∠OFG）=45°．
∴∠GOF=∠OFH，∠HOF=∠OFG．
∴OG∥FH，OH∥FG，
∴四邊形OHFG是平行四邊形．
∴OG=FH．
∵BF=FH+BH，
∴BF=OG+CF．
點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，平行四邊形的判定及性質的運用，解答時采用截取法作輔助線是關鍵．