Question

是否存在這樣的正整數(shù)n，使得3n²+7n-1能整除n³+n²+n+1？請說明理由．

Answer 1

用反證法，假設(shè)存在一個正整數(shù)n，使得（3n²+7n-1），
整除n³+n²+n+1，則（3n²+7n-1）整除{（n³+n²+n+1）+（3n²+7n-1）]，
=n（n²+4n+8）．
∵n與3n²+7n-1互素，所以（3n²+7n-1）整除（n²+4n+8）．
從而，3n²+7n-1互素，所以，
（3n²+7n-1）整除（n²+4n+8）．
從而，3n²+7n-1≤n²+4n+8，即2n²+3n-9≤0，所以，n=1，但n=1并不滿足題目的要求，矛盾．
因此，滿足題目要求的正整數(shù)n不可能存在．