Question

已知拋物線y=x²+2（k+1）x-k與x軸有兩個交點，且這兩個交點分別在直線x=1的兩側，則k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據二次函數y=x²+2（k+1）x-k的圖象與x軸有兩個交點可以得到其判別式是正數，由此得到關于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范圍，再根據兩個交點分別在直線x=1的兩側求出k的取值范圍然后再取k的公共部分．
解答：解：∵拋物線y=x²+2（k+1）x-k與x軸有兩個交點，
∴b²-4ac=[2（k+1）]²-4×1×（-k）=4（k²+3k+1）＞0，
解得：k＞或k＜，
∵兩個交點分別在直線x=1的兩側，
∴可設x₁＜1，x₂＞1，
即x₁-1＜0，x₂-1＞0，
∴（x₁-1）•（x₂-1）＜0，
即（x₁x₂）-（x₁+x₂）+1＜0，
由解析式y=x²+2（k+1）x-k可得x₁x₂=-k，x₁+x₂=-2（k+1），
∴（x₁x₂）-（x₁+x₂）+1=k+3＜0，
解得k＜-3；
所以k的取值范圍是k＜-3．
點評：此題考查了拋物線與x軸交點個數與其判別式的關系，也考查了一元二次方程的根與系數的關系，其中解題時利用不等式的巧妙變形，可以快速解不等式，這也是解不等式經常采用的方法．