Question

作圖題：
如圖（1）和（2），P是直線m一動點，A．B兩點在m的同側，且A、B所在直線與m不平行．（不寫作法，請保留作圖痕跡．）
（1）當P點運動到P₁位置時，距離A點最近；運動到P₂位置時，距離B點最近，在圖（1）中的直線m上分別畫出點P₁、P₂的位置；
（2）當P點運動到P₃位置時，與A點的距離和與B點距離相等．請在圖（1）中作出P₃位置；
（3）在直線m上是否存在這樣一點P₄使得到A點的距離與到B點的距離之和最小，若存在請在圖（2）中作出這點，若不存在請說明理由；
（4）在直線m上是否存在這樣一點P₅使得到B點的距離與到A點的距離之差最大．若存在請在圖（2）中作出這點．若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
分析：（1）當AP₁⊥m時，P₁距離點A最近；當BP₂⊥m時，P₂距離點B最近；
（2）作AB的垂直平分線交m于點P₃即可；
（3）作點A關于直線m的對稱點A′，連接A′B交直線m于點P₄；
（4）求P₅的方法和（3）相同．
點評：用到的知識點為：垂線段最短；與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；求一直線同側兩點與直線上一點的距離之和最小，或是求這兩點與直線上一點的距離之差的絕對值最大，都應從作一點關于直線的對稱點入手思考．