Question

【題目】如圖①，點O為直線MN上一點，過點O作直線OC，使∠NOC=60°．將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OA在射線OM上，另一邊OB在直線AB的下方，其中∠OBA=30°

（1）將圖②中的三角尺沿直線OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度數；

（2）將圖①中的三角尺繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉，旋轉角為α（0＜α＜360°），在旋轉的過程中，在第幾秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC；

（3）將圖①中的三角尺繞點O順時針旋轉，當點A點B均在直線MN上方時（如圖③所示），請探究∠MOB與∠AOC之間的數量關系，請直接寫出結論，不必寫出理由．

Answer 1

【答案】（1）∠A′ON=60°；（2）第15或秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC；（3）①當OB，OA在OC的兩旁時，∠MOB-∠AOC=30°，②當OB，OA在OC的同側時，∠MOB+∠AOC=120°-90°=30°．

【解析】

（1）如圖②中，延長CO到C′．利用翻折不變性求出∠A′O′C′即可解決問題；
（2）設t秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC．構建方程即可解決問題；
（3）分兩種情形分別求解即可解決問題；

（1）如圖②中，延長CO到C′．

∵三角尺沿直線OC翻折至△A′B′O，

∴∠A′OC′=∠AOC′=∠CON=60°，

∴∠A′ON=180°-60°-60°=60°．

（2）設t秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC．

由題意10t=150或10t=330，

解得t=15或33s，

答：第15或秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC；

（3）①當OB，OA在OC的兩旁時，∵∠AOB=90°，

∴120°-∠MOB+∠AOC=90°，

∴∠MOB-∠AOC=30°．

②當OB，OA在OC的同側時，∠MOB+∠AOC=120°-90°=30°．