Question

為了美化校園環境，某中學準備在一塊空地（如圖，矩形ABCD，AB=10m，BC=20m）上進行綠化．中間的一塊（圖中四邊形EFGH）上種花，其他的四塊（圖中的四個Rt△）上鋪設草坪，并要求AE=AH=CF=CG．那么在滿足上述條件的所有設計中，是否存在一種設計，使得四邊形EFGH（中間種花的一塊）面積最大？若存在，請求出該設計中AE的長和四邊形EFGH的面積；若不存在，請說明理由！

Answer 1

解：存在．設AE=AH=CG=CF=xm
則BE=DG=（10-x）m，BF=DH=（20-x）m
∴四邊形EFGH的面積
S=10×20-2×x•x-2×（10-x）（20-x）
即S=-2x²+30x（0＜x＜10）
∴x=-=7.5
又∵0＜7.5＜10
∴S_最大值==112.5
答：當AE的長為7.5m時，種花的這一塊面積最大，最大面積是112.5m²．
分析：設AE=AH=CG=CF=xm，則BE=DG=（10-x）m，BF=DH=（20-x）m，四邊形EFGH的面積=矩形ABCD的面積-△AEH的面積-△CFG的面積-△BEF的面積-△DHG的面積，根據已列出的三角形邊長，求出函數關系式．
點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次系數a的絕對值是較小的整數時，用配方法較好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比較簡單．