Question

如圖，拋物線y=ax²+2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A（-4，0）和B．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當△CEQ的面積最大時，求點Q的坐標；
（3）平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（-2，0）．問是否有直線l，使△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A（-4，0），利用待定系數法即可求得該拋物線的解析式；
（2）首先設點Q的坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G．由（1）中的拋物線，即可求得B的坐標，即可求得AB與BQ的值，又由△BQE∽△BAC，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得EG的值，又由S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ，利用二次函數的最值的求解方法，即可求得當△CEQ的面積最大時，點Q的坐標；
（3）根據題意分別從OD=DF，DF=OF，OD=OF去分析，即可求得答案，利用等腰三角形與直角三角形的性質即可求得答案．

解答：解：（1）由題意，得：

c=4 16a-8a+c=0

，
解得：

a=- 1 2 c=4

，
∴所求拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²-x+4．

（2）設點Q的坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G．
由-

1

2

x²-x+4=0，
得x₁=2，x₂=-4，
∴點B的坐標為（2，0），
∴AB=6，BQ=2-m，
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴

BQ

BA

=

EG

OC

，
即

2-m

6

=

EG

4

，
∴EG=

2

3

（2-m），
∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ
=

1

2

BQ•CO-

1

2

BQ•EG
=

1

2

（2-m）[4-

2

3

（2-m）]
=-（m+1）²+3
又∵-4≤m≤2，
∴當m=-1時，S_△CQE有最大值3，此時Q（-1，0）．

（3）存在．在△ODF中．
（ⅰ）若DO=DF，
∵A（-4，0），D（-2，0）
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°．
此時，點F的坐標為（-2，2）
（ⅱ）若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M
由等腰三角形的性質得：OM=MD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴F（-1，3）；
（ⅲ）若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4

2

，
∴點O到AC的距離為2

2

，而OF=OD=2＜2

2

，
∴此時不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
所求點F的坐標為：F（-2，2）或（-1，3）．

點評：此題考查了二次函數的綜合應用，考查了待定系數求函數解析式，等腰三角形的性質，直角三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想，方程思想與分類討論思想的應用，注意輔助線的作法．