Question

（2013•延安二模）定義[a，b，c]為函數y=ax²+bx+c的特征數，下面給出特征數為[2m，1-m，-1-m]的函數的一些結論，其中不正確的是（　　）

• A．當m=-3時，函數圖象的頂點坐標是（

  1

  3

  ，

  8

  3

  ）
• B．當m＞0時，函數圖象截x軸所得的線段長度大于

  3

  2

• C．當m≠0時，函數圖象經過同一個點
• D．當m＜0時，函數在x＞

  1

  4

  時，y隨x的增大而減小

Answer 1

分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；
B、令函數值為0，求得與x軸交點坐標，利用兩點間距離公式解決問題；
C、首先求得對稱軸，利用二次函數的性質解答即可；
D、根據特征數的特點，直接得出x的值，進一步驗證即可解答．

解答：解：因為函數y=ax²+bx+c的特征數為[2m，1-m，-1-m]；
A、當m=-3時，y=-6x²+4x+2=-6（x-

1

3

）²+

8

3

，頂點坐標是（

1

3

，

8

3

）；此結論正確；
B、當m＞0時，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得：x₁=1，x₂=-

1

2

-

1

2m

，
|x₂-x₁|=

3

2

+

1

2m

＞

3

2

，所以當m＞0時，函數圖象截x軸所得的線段長度大于

3

2

，此結論正確；
C、當x=1時，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即對任意m，函數圖象都經過點（1，0）那么同樣的：當m=0時，函數圖象都經過同一個點（1，0），當m≠0時，函數圖象經過同一個點（1，0），故當m≠0時，函數圖象經過x軸上一個定點此結論正確．
根據上面的分析，①②④都是正確的，③是錯誤的．
D、當m＜0時，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一個開口向下的拋物線，其對稱軸是：

m-1

4m

，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小．因為當m＜0時，

m-1

4m

=

1

4

-

1

4m

＞

1

4

，即對稱軸在x=

1

4

右邊，因此函數在x=

1

4

右邊先遞增到對稱軸位置，再遞減，此結論錯誤；
故選D．

點評：此題考查二次函數的性質，頂點坐標，兩點間的距離公式，以及二次函數圖象上點的坐標特征．