Question

25、如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．
（1）AE是⊙O的切線嗎？請說明理由；
（2）若AE=4，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）連接AO，由AO=DO，得∠OAD=∠ODA，由DA平分∠BDE，得∠ADE=∠ODA，則∠ADE=∠OAD，證明AO∥ED，得OA⊥AE；
（2）延長AO交BC于點F，由∠C=∠FAE=∠AEC=90°，可證四邊形AECF為矩形，則CF=AE=4，由垂徑定理得BF=FC=4．

解答：解：（1）AE是⊙O的切線．
理由如下：（1）連接AO．
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ODA．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ODA．
∴∠ADE=∠OAD．
∵AE⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=90°．
∴∠OAD+∠DAE=90°．即OA⊥AE．（由AO∥ED證得OA⊥AE也可．）
∴AE是⊙O的切線．

（2）延長AO交BC于點F．
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠C=90°．
∴∠C=∠FAE=∠AEC=90°．
∴四邊形AECF為矩形，CF=AE=4．
∵AF⊥BC，且AF過圓心，
∴BC=2CF=8．

點評：本題考查了切線的判定與性質，圓周角定理，垂徑定理的運用．關鍵是連接AO并延長，證明直角和矩形．