Question

如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（，0）、（0，2），P是△AOB外接圓上的一點，且∠AOP=45°，則點P的坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：過圓心C作CF平行于OA，過P作PE垂直于x軸，兩線交于F，由A和B的坐標得出OA及OB的長，利用勾股定理求出AB的長，由∠AOP=45°，得到三角形POE為等腰直角三角形，得到P的橫縱坐標相等，設為（a，a），再由∠AOB=90°，利用圓周角定理得到AB為直徑，外接圓圓心即為直徑AB的中點，設為C，求出C的坐標，可得出PC=2，根據垂徑定理求出EF的長，用PE-EF表示出PF，用P的橫坐標減去C的橫坐標，表示出CF，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，進而確定出P的坐標．
解答：解：∵OB=2，OA=2，
∴AB==4，
∵∠AOP=45°，
∴P點橫縱坐標相等，可設為a，即P（a，a），
∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，
∴Rt△AOB外接圓的圓心為AB中點，坐標C（，1），
可得P點在圓上，P點到圓心的距離為圓的半徑2，
過點C作CF∥OA，過點P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a-，PC=2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a-）²+（a-1）²=2²，
舍去不合適的根，可得：a=1+，
則P點坐標為（+1，+1）．
∵P與P′關于圓心（，1）對稱，
∴P′（-1，1-）．
故答案為：（+1，+1）或（-1，1-）
點評：此題考查了圓周角定理，勾股定理，坐標與圖形性質，等腰直角三角形的判定與性質，以及角平分線的性質，利用了轉化及方程的思想，是一道綜合性較強的試題．