Question

小麗將一個邊長為2a的正方形紙片ABCD折疊，頂點A落到CD邊上的點M的位置，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G（如圖）．在折疊過程中，小麗發現當點M在CD邊上的任意位置時，（點C，D除外），△CMG的周長總是相等的，那么△CMG的周長為________．

Answer 1

4a
分析：設CM=x，DE=y，則DM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性質和折疊可以證明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的對應邊成比例可以把CG，MG分別用x，y分別表示，△CMG的周長也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根據勾股定理可以得到4ax-x²=4ay，進而求出△CMG的周長．
解答：設CM=x，DE=y，則DM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴，即
∴CG=
△CMG的周長為CM+CG+MG=
在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²
即（2a-x）²+y²=（2a-y）²
整理得4ax-x²=4ay，
∴CM+MG+CG===4a．
所以△CMG的周長為4a．
故答案為：4a．
點評：本題考查翻折變換及正方形的性質，正方形的有些題目有時用代數的計算證明比用幾何方法簡單，甚至幾何方法不能解決的用代數方法可以解決．本題綜合考查了相似三角形的應用和正方形性質的應用．