Question

如圖①，AB是半圓O的直徑，以OA為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個動點（P與點A，O不重合），AP的延長線交半圓O于點D，其中OA=4．

（1）判斷線段AP與PD的大小關系，并說明理由；
（2）連接OD，當OD與半圓C相切時，求的長；
（3）過點D作DE⊥AB，垂足為E（如圖②），設AP=x，OE=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）AP=PD。理由如下：
如圖①，連接OP，OD，

∵OA是半圓C的直徑，∴∠APO=90°，即OP⊥AD。
又∵OA=OD，∴AP=PD。
（2）如圖①，連接PC、OD.
∵OD是半圓C的切線，∴∠AOD=90°。
由（1）知，AP=PD.
又∵AC=OC，∴PC∥OD。∴∠ACP=∠AOD=90°。
∵OA=4，∴AC=2。
∴的長=。
（3）分兩種情況：
①當點E落在OA上（即0＜x≤時），如圖②，

連接OP，則∠APO=∠AED．
又∵∠A=∠A，∴△APO∽△AED。∴。
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4﹣y，∴。
∴（0＜x≤）.
②當點E落在線段OB上（即＜x＜4）時，如圖③，

連接OP，同①可得，△APO∽△AED。
∴。
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，∴。
∴（＜x＜4）。
綜上所述，y與x之間的函數關系式為

試題分析：（1）AP=PD．理由如下：如圖①，連接OP．利用圓周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性質證得AP=PD。
（2）由三角形中位線的定義證得CP是△AOD的中位線，則PC∥DO，所以根據平行線的性質、切線的性質易求弧AP所對的圓心角∠ACP=90°，從而求出的長。
（3）分類討論：點E落在線段OA和線段OB上，這兩種情況下的y與x的關系式．這兩種情況都是根據相似三角形（△APO∽△AED）的對應邊成比例來求y與x之間的函數關系式。