Question

【題目】在ABCD中，AF平分∠BAD交BC于點F，∠BAC=90°，點E是對角線AC上的點，連結BE．

（1）如圖1，若AB=AE，BF=3，求BE的長；

（2）如圖2，若AB=AE，點G是BE的中點，∠FAG=∠BFG，求證：ABFG；

（3）如圖3，以點E為直角頂點，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若點E從點A出發，沿AC運動到點C停止，設在點E運動過程中，BM的中點N經過的路徑長為m，AC的長為n，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）BE=3；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）先說明AB=BF，然后再利用等腰直角三角形的性質求解即可；

（2）如圖2：連接EF，過點G作GH⊥EF交EF的延長線于H．設BG=a，FG=b．先利用相似三角形的性質證得EFGF，最后根據解直角三角形求得AB即可；

（3）如圖3：在AC上取一點T，使得AT=AB，連接BT，TM，取BT的中點J，連接NJ．

先證NJ//TM，NJ=TM，得到∠BJN=∠BTM=90°，進一步得到點N的運動軌邊是線段，最后代入即可．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAF=∠AFB

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF，

∴∠BAF=∠AFB，

∴AB=BF=3．

∵AB=AE，∠BAE=90°，

∴BEAB=3．

（2）連接EF，過點G作GH⊥EF交EF的延長線于H．設BG=a，FG=b．

∵AB=AE，∠BAE=90°，BG=GE，

∴AG⊥BE，AG=GB=GE，

∴ABBGa．

∵BF=ABa，

∴BF2=2a2，BGBE=2a2，

∴BF2=BGBE，

∴，

∵∠FBG=∠EBF，

∴△GBF∽△FBE，

∴，∠BFG=∠BEF，

∴EFGFb．

∵∠BAF=∠BFA，∠GAF=∠BFG，

∴∠AFG=∠BAG=45°，∠GAF=∠GEF，

∴∠AGE=∠AFE=90°，

∴∠GFH=45°．

∵GH⊥EH，

∴GH=FHb，

∴EH=FH+EFb，

∴EGb

∴AB=AEGEb，

∴ABGF．

（3）如圖3中，在AC上取一點T，使得AT=AB，連接BT，TM，取BT的中點J，連接NJ．

∵△ABT，△BEM都是等腰直角三角形，

∴BTAB，BMBE，∠ABT=∠EBM=45°，

∴，∠ABE=∠TBM，

∴△ABE∽△TBM，

∴，∠AEB=∠BMT．

∵∠AEB+∠BET=180°，

∴∠BMT+∠BET=180°，

∴∠EBM+∠ETM=180°．

∵∠EBM=∠ETB=45°，

∴∠ETM=135°，∠BTM=90°．

∵BJ=JT，BN=NM，

∴NJ∥TM，NJTM，

∴∠BJN=∠BTM=90°，

∴點N的運動軌跡是線段JN，JNTMAE．

∵點E從A運動到C時，AE=AC=n，

∴mn，

∴．