Question

一位同學拿了兩塊45°的三角尺△MNK、△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設AC＝BC＝a．

（1）如圖1，兩個三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為          ，周長為          ；

（2）將圖1中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉45°，得到圖2，此時重疊部分的面積為           ，周長為           ；

（3）如果將△MNK繞M旋轉到不同于圖1、圖2的位置，如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并試著加以驗證．

Answer 1

解：（1），

(1＋)a；…

（2），2a；

（3）猜想：重疊部分的面積為。

     理由如下：

     過點M分別做AC、BC的垂線MH、MG，垂足為H、G。　

    為說明方便，不妨設MN與AC的交點為E，MK與BC的交點為F。

由于M是△ABC斜邊AB的中點，AC＝BC＝a

所以MH＝MG＝

又因為 ∠HME＝∠GMF

所以 Rt△MHE≌Rt△MGF分

因此陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積。

而正方形CGMH的面積是MG?MH＝×＝

所以陰影部分的面積是。