Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點O與坐標原點重合，頂點A、C在坐標軸上，，將矩形沿折疊，使點A與點C重合．

（1）求點E的坐標；
（2）點P從O出發，沿折線方向以每秒2個單位的速度勻速運動，到達終點E時停止運動，設P的運動時間為t，的面積為S，求S與t的關系式，直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當時，在平面直角坐標系中是否存在點Q，使得以點P、E、G、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若不存在，請說明理由；若存在，請求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）E（10，6）；（2）S= -8t+54（0≤t≤3）或S=-6t+48（3＜t≤8）；（3）存在， Q（14.4，-4.8）或（18.4，-4.8）．

【解析】

（1）設AE=x，根據勾股定理列方程得：（18-x）2+62=x2，解出可得結論；
（2）分兩種情況：P在OA或AE上，分別根據三角形面積列式即可；
（3）先根據分別計算PA和PE的長，如圖4，過G作GH⊥OC于H，設OF=y，根據勾股定理列方程可得y的值，利用面積法計算GH的長，得G的坐標，根據平行四邊形的性質和平移規律可得Q的坐標．

解：（1）如圖1，矩形ABCO中，B（18，6），

∴AB=18，BC=6，
設AE=x，則EC=x，BE=18-x，
Rt△EBC中，由勾股定理得：EB2+BC2=EC2，
∴（18-x）2+62=x2，
x=10，
即AE=10，
∴E（10，6）；

（2）分兩種情況：
①當P在OA上時，0≤t≤3，如圖2，
S=S矩形OABC-S△PAE-S△BEC-S△OPC，
=18×6-×10（6-2t）-×8×6-×18×2t，
=-8t+54，
②當P在AE上時，3＜t≤8，如圖3，

S=PEBC=×6×(162t)=3（16-2t）=-6t+48；
（3）存在，由PA=PE可知：P在AE上，如圖4，過G作GH⊥OC于H，

∵AP+PE=10，
∴AP=6，PE=4，
設OF=y，則FG=y，FC=18-y，
由折疊得：∠CGF=∠AOF=90°，
由勾股定理得：FC2=FG2+CG2，
∴（18-y）2=y2+62，
y=8，
∴FG=8，FC=18-8=10，
FCGH＝FGCG，
×10×GH＝×6×8，
GH=4.8，
由勾股定理得：FH==6.4，
∴OH=8+6.4=14.4，
∴G（14.4，-4.8），
∵點P、E、G、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，且PE=4，
∴Q（14.4，-4.8）或（18.4，-4.8）．