Question

如圖，已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1，這條曲線是函數y=

1

2x

的圖象在第一限內的一個分支，點P是這條曲線的任意一點，它的坐標是（a，b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN（點M、N為垂足）分別與直線AB相交于點E和F．
（1）求△OEF的面積（a，b的代數式表示）；
（2）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請證明；如果不一定相似，請說明理由；
（3）當點P在曲線上移動時，△OEF隨之變動，指出在△OEF的三個內角中，是否有大小始終保持不變的角？若有，請求出其大小；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求△OEF的面積，只要求出E、F坐標即可．根據矩形性質、直線AB解析式容易求出；
（2）根據題意易知∠A=∠B，要證△AOF與△BOE相似，只證夾邊對應成比例即可；
（3）應用三角形內角和定理及內外角關系可求∠EOF=45°是一定值，即解．

解答：解：（1）根據題意，易知：直線AB的解析式為y=-x+1，
點E的坐標是（a，1-a），點F的坐標是（1-b，b），
當PM、PN與線段AB都相交時，如圖1，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△AOE-S_△BOF
=

1

2

×1×1-

1

2

×1×(1-a)-

1

2

×1×(1-b)
=

a+b-1

2

，
當PM、PN中有一條與AB相交，另一條與BA延長線或AB延長線相交時，如圖2和圖3，
∴S_△EOF=S_△FOA+S_△AOE=

1

2

×1×b+

1

2

×1×（a-1）=

a+b-1

2

，
∴S_△EOF=S_△FOB+S_△BOE=

1

2

×1×(b-1)+

1

2

×1×a=

a+b-1

2

，
即S_△EOF=

a+b-1

2

；

（2）△AOF和△BEO一定相似．
∵如圖1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=

2

-

(1-a)2+(1-a)2

=

2

a，
AF=BA-BF=

2

-

(1-b)2+(1-b)2

=

2

b，
∵點P是函數y=

1

2x

圖象上任意一點，
∴b=

1

2a

，即2ab=1，
∴

2

a×

2

b=1即，AF•BE=OB•OA，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∵對圖2，圖3同理可證，
∴△AOF∽△BEO；

（3）當點P在曲線上移動時，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（2）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如圖1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
對圖2，圖3同理可證，
∴∠EOF=45°．

點評：此題難度中等，考查反比例函數的圖象和性質及相似三角形性質判定．同學們只有熟練掌握這些知識點，才能正確的解答．