Question

（1）探究歸納：如圖1，已知△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關系，并說明理由．
（2）結論應用：①如圖2，點M，N在反比例函數y=

k

x

(k＞0，x＞0)的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F．證明：MN∥EF．

②如圖3，點M，N在反比例函數y=

10

x

的圖象上，且M（2，m），N是第三象限內反比例函數y=

10

x

的圖象上一動點．過點M作ME⊥y軸，過點N作EF⊥x軸，垂足分別為E，F．說明MN∥EF．并求當四邊形MEFN的面積為12時點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）分別過點C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足為G、H，根據三角形的面積求出CG=DH，推出平行四邊形CGDH即可
（2）②證△EMF和△NEF的面積相等，根據（1）即可推出答案；②設點M的坐標為（x₁，y₁），點N的坐標為（x₂，y₂），根據三角形的面積公式求出S_△EFM=S_△EFN，求出FN即可．

解答：（1）證明：分別過點C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足為G、H，則∠CGA=∠DHB=90°．
∵CG⊥AB、DH⊥AB，
∴∠CGA=∠DHA=90°，
∴∠CGA+∠DHA=180°，
∴CG∥DH．
∵△ABC與△ABD的面積相等，
∴CG=DH，
∴四邊形CGHD為平行四邊形，
∴AB∥CD．

（2）①證明：連接MF，NE，
設點M的坐標為（x₁，y₁），點N的坐標為（x₂，y₂），
∵點M，N在反比例函數y=

k

x

（k＞0）的圖象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y軸，NF⊥x軸，
∴OE=y₁，OF=x₂，
∴S△EFM=

1

2

x1•y1=

1

2

k，S△EFN=

1

2

x2•y2=

1

2

k，
∴S_△EFM=S_△EFN，
由（1）中的結論可知：MN∥EF．

②解：連接FM、EN．
設點M的坐標為（x₁，y₁），點N的坐標為（x₂，y₂），
∴S△EFM=

1

2

EM•EO=

1

2

k=5，S△EFN=

1

2

FN•FO=

1

2

k=5，
∴S_△EFM=S_△EFN，
由（1）中的結論可知：MN∥EF．
設MN和x軸的交點為G（如圖③），
則四邊形EFGM為平行四邊形，EM=2．
S_{四邊形EFNM}=S_{平行四邊形EFGM}+S_△FNG，
12=x₁y₁+

1

2

x₁y₂
=10+

1

2

×2×FN，
當S_{四邊形EFNM}=12時，y₂=-FN=-2，代入y=

10

x

得：x₂=-5，
∴點N的坐標為（-5，-2），
答：點N的坐標．是（-5，-2）．

點評：本題主要考查對平行四邊形的性質和判定，三角形的面積，反比例函數圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，能推出MN∥EF是解此題的關鍵．