Question

【題目】如圖1,在Rt△ABC中，∠C=90,BC=6，AC=8.動點(diǎn)M從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)N從點(diǎn)C開始沿邊CA向點(diǎn)A以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，點(diǎn)M、N同時出發(fā)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.過點(diǎn)M作MD∥AC,交AB于點(diǎn)D,連接MN.設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t≥0）.

(1)當(dāng)t為何值時，四邊形ADMN為平行四邊形？

(2)是否存在t的值，使四邊形ADMN為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.并探究只改變點(diǎn)N的速度（勻速運(yùn)動），使四邊形ADMN在某一時刻為菱形，求點(diǎn)N的速度；

(3)如圖2，在整個運(yùn)動過程中，求出線段MN中點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t為秒時，四邊形ADMN為平行四邊形；（2）；（3）.

【解析】(1)、根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出MD=AN，然后根據(jù)△BMD和△BAC相似得出MD=,BD=，最后根據(jù)MD=AN=8-2t得出答案；(2)、根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD=MD=，從而得出t的值；(3)、首先得出點(diǎn)P所運(yùn)動的路徑為一條線段，然后根據(jù)勾股定理得出答案．

(1)、∵MD∥AC， ∴當(dāng)MD=AN時，四邊形ADMN為平行四邊形，

∵MD∥AC，∴△BMD∽△BAC， ∴.∴. ∴MD=,BD=，

∵AN=8-2t，∴=8-2t， 解得：t=， ∴當(dāng)t為秒時，四邊形ADMN為平行四邊形；

(2)、∵四邊形ADMN是菱形， ∴四邊形ADMN必為平行四邊形，

而當(dāng)t=秒時，AD=10-=6，AN=8-=， ∴AD≠AN

∴四邊形ADMN不可能為菱形， 當(dāng)四邊形ADMN是菱形時，AD=MD=，

∴，∴， ∴AN=AD==， ∴CN=8-=，

∴點(diǎn)N的速度為=；

(3)、∵點(diǎn)M在BC上運(yùn)動，點(diǎn)N在AC上運(yùn)動，

∴線段MN的中點(diǎn)P的運(yùn)動路徑為一條線段， ∵當(dāng)M在點(diǎn)B時，N在點(diǎn)C，

∴此時點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，CP=3， ∵當(dāng)N到點(diǎn)A時點(diǎn)M運(yùn)動的距離BM=4，

∴CM=2， 作P'E⊥BC垂足為E，∴CE=1，∴EP=2，

此時，點(diǎn)P到BC的距離P'E=4， 點(diǎn)P的運(yùn)動路徑為PP'=．