Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交斜邊AB于點D，，連接AF交BC于G，連接CF交AB于E
（1）求證：DF=EF；
（2）DE=3，FD=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證得△AFE≌△AFC，從而得出DF=EF；
（2）由△AFE≌△AFC得出，△ACE∽△FED，則，從而求出AC=．
解答：（1）證明：∵，∴DF=FC，∠DAF=∠FAC，AC為直徑，
∴∠AFC=∠AFE=90°，
∴△AFE≌△AFC，
∴EF=FC=DF；

（2）解：∵△AFE≌△AFC，EF=FC=DF=5，∴∠FED=∠FDE=∠ACE=∠AEC，
∴△ACE∽△FED，
∴，
可求出AC=，
∴⊙O的半徑為．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質以及相似三角形的判定和性質，是基礎知識要熟練掌握．