Question

（2009•陜西）如圖，在平面直角坐標系中，OB⊥OA，且OB=2OA，點A的坐標是（-1，2）
（1）求點B的坐標；
（2）求過點A、O、B的拋物線的表達式；
（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點P，使得S_△ABP=S_△ABO．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，過點A作AF⊥x軸，垂足為點F，過點B作BE⊥x軸，垂足為點E；根據相似三角形的性質，可得BE、OE的值，進而可得B點的坐標；
（2）先設拋物線為y=ax²+bx+c，將ABC的坐標代入可得三元一次方程組，解即可得abc的值，即可得拋物線的解析式；
（3）根據題意設拋物線上符合條件的點P到AB的距離為d，易得AB∥x軸；分析可得點P的縱坐標只能是0，或4；分情況代入數據可得答案．
解答：解：（1）過點A作AF⊥x軸，垂足為點F，
過點B作BE⊥x軸，垂足為點E，則AF=2，OF=1．
∵OA⊥OB，
∴∠AOF+∠BOE=90度．
又∵∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOF=∠OBE，
∴Rt△AFO∽Rt△OEB，
∴，
∴BE=2，OE=4，
∴B（4，2）．（2分）

（2）設過點A（-1，2），B（4，2），O（0，0）的拋物線為y=ax²+bx+c．
∴
解之，得，
∴所求拋物線的表達式為y=x²-x．（5分）

（3）由題意，知AB∥x軸．
設拋物線上符合條件的點P到AB的距離為d，則S_△ABP=AB•d=AB•AF=5．
∴d=2．
∴點P的縱坐標只能是0，或4．（7分）
令y=0，得y=x²-x=0．
解之，得x=0，或x=3．
∴符合條件的點P₁（0，0），P₂（3，0）．
令y=4，得x²-x=4．
解之，得．
∴符合條件的點，．
∴綜上，符合題意的點有四個：
P₁（0，0），P₂（3，0），，．（10分）
點評：本題考查學生數形結合處理問題、解決問題的能力．