Question

在直角坐標系中，二次函數y=-

1

2

x²+

3m

2

^x+n-5的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，其中點A在點B的左邊，若∠ACB=90°，OC＞OA且

OC

OA

+

OC

OB

=

2

5

．
（1）求△ABC的面積及這個二次函數的具體表達式；
（2）試設計滿足下述條件的一個方案（說明理由）：保持圖象的形狀大小不變，使以圖象與坐標軸的3個交點為頂點的三角形的面積是△ABC的面積的一半．

Answer 1

分析：（1）設出ABC三點的坐標，用n表示出ab，c；由勾股定理可得答案；
（2）保持圖象的張口和頂點的縱坐標不變，保持圖象的對稱軸與y軸平行，平移圖象，使圖象與y軸的交點C′坐標為（0，1），則這個圖象為所求．

解答：解：
（1）設點A（a，0），B（b，0），C（0，c）其中（a＜0，b＞0，c＞0），
由條件得，c=n-5，ab=-2（n-5）．
在Rt△ABC中，∵CO⊥AB，有

CO

AO

=

BO

CO

，
∴CO²=AO•BO，
∴（n-5）²=-ab，
故（n-5）²=2（n-5），
解得n=7或n=5（舍去），
從而c=2，
因為

CO

AO

+

CO

BO

=

2

5

，

CO

AO

=

BO

CO

，
于是，

2

-a

+

-a

2

=

2

5

，
解得a=-1或a=-4，
因OC＞OA，
故舍去a=-4，
由a=-1，求得b=4，
故S_△ABC=

1

2

•OC•AB=5，
又因為點A（-1，0）在拋物線上，
所以把x=-1，y=0代入y=-

1

2

x²+

3m

2

x+2，得m=1，
所以y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）參考方案：保持圖象的張口和頂點的縱坐標不變，保持圖象的對稱軸與y軸平行，平移圖象，使圖象與y軸的交點C′坐標為（0，1），
則這個圖象為所求，理由如下：由y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
設移動后的拋物線為y=-

1

2

（x-k）²+

25

8

，則這圖象的形式、大小保持不變，
又設這圖象過點C′（0，1），把x=0，y=1代入上式，
求得k=±

17

2

，
所求的拋物線為y=-

1

2

（x-

17

2

）²+

25

8

①或y=-

1

2

（x+

17

2

）²+

25

8

②
設①與x軸的交點為A′，B′，其橫坐標分別為x₁，x₂（x₁≤x₂），
則x₁，x₂為方程-

1

2

（x-

17

2

）²⁺

25

8

=0的兩根，
解這個方程得x₁=

17

2

-

5

2

，x₂=

17

2

+

5

2

，
∴|x₁-x₂|=5，所以A′B′=5，
∴S_{△A′B′C′}=

1

2

S_△ABC，同理對于②也成立．

點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．