Question

如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），動點A以每秒1個單位長的速度，從點O出發沿x軸的正方向運動，M是線段AC的中點．將線段AM以點A為中心，沿順時針方向旋轉90°，得到線段AB．過點B作x軸的垂線，垂足為E，過點C作y軸的垂線，交直線BE于點D．運動時間為t秒．
（1）當點B與點D重合時，求t的值；
（2）設△BCD的面積為S，當t為何值時，S=？
（3）連接MB，當MB∥OA時，如果拋物線y=ax²-10ax的頂點在△ABM內部（不包括邊），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠CAB=90°，易證得Rt△CAO∽Rt△ABE；當B、D重合時，BE的長已知（即OC長），根據AC、AB的比例關系，即可得到AO、BE的比例關系，由此求得t的值．
（2）求△BCD的面積時，可以CD為底、BD為高來解，那么表示出BD的長是關鍵；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例關系，即可通過相似三角形的對應邊成比例求出BE的長，進一步得到BD的長，在表達BD長時，應分兩種情況考慮：①B在線段DE上，②B在ED的延長線上．
（3）首先將拋物線的解析式進行配方，可得到拋物線的頂點坐標，將其橫坐標分別代入直線MB、AB的解析式中，可得到拋物線對稱軸與這兩條直線的交點坐標，根據這兩個坐標即可判定出a的取值范圍．
解答：解：（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CAO=∠ABE．
∴Rt△CAO∽Rt△ABE．
∴=．
∴=．
∴t=8．

（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE=，AE=2．
當0＜t＜8時，S=CD•BD=（2+t）（4-）=．
∴t₁=t₂=3．
當t＞8時，S=CD•BD=（2+t）（-4）=．
∴t₁=3+5，t₂=3-5（為負數，舍去）．
當t=3或3+5時，S=．

（3）過M作MN⊥x軸于N，則MN=CO=2．
當MB∥OA時，BE=MN=2，OA=2BE=4．
拋物線y=ax²-10ax的頂點坐標為（5，-25a）．
它的頂點在直線x=5上移動．
直線x=5交MB于點（5，2），交AB于點（5，1）．
∴1＜-25a＜2．
∴-＜a＜-．
點評：考查了二次函數綜合題，該題是圖形的動點問題，前兩問的關鍵在于找出相似三角形，得到關鍵線段的表達式，注意點在運動過程中未知數的取值范圍問題．最后一問中，先得到拋物線的頂點坐標是簡化解題的關鍵．