Question

如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連結AB、AE、BE．已知tan∠CBE＝，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)．

(1)求拋物線的解析式及頂點B的坐標；

(2)求證：CB是△ABE外接圓的切線；

(3)試探究坐標軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(4)設△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度(0＜t≤3)時，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數關系式，并指出t的取值范圍．

Answer 1

 (1)解：由題意，設拋物線解析式為y＝a(x－3)(x＋1)．

將E(0，3)代入上式，解得：a＝－1．

∴y＝－x²＋2x＋3．

則點B(1，4)．

(2)如圖6，證明：過點B作BM⊥y于點M，則M(0，4)．

在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，

∴∠1＝∠2＝45°，AE＝＝3．

在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，

∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE＝＝．

∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°．

∴AB是△ABE外接圓的直徑．………………………………………………………………3分

在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝＝tan∠CBE，

∴∠BAE＝∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°．

∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圓的切線．………………………………………………………………5分

(3)P₁(0，0)，P₂(9，0)，P₃(0，－)．………………………………………………………8分

(4)解：設直線AB的解析式為y＝kx＋b．

將A(3，0)，B(1，4)代入，得解得

∴y＝－2x＋6．

過點E作射線EF∥x軸交AB于點F，當y＝3時，得x＝，∴F(，3)．…………9分

情況一：如圖7，當0＜t≤時，設△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于點H，MN交AE于點G．

則ON＝AD＝t，過點H作LK⊥x軸于點K，交EF于點L．

由△AHD∽△FHM，得．即．解得HK＝2t．

∴S_陰＝S_△MND－S_△GNA－S_△HAD＝×3×3－(3－t)²－t·2t＝－t²＋3t．…………11分

情況二：如圖8，當＜t≤3時，設△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于點I，交AE于點V．由△IQA∽△IPF，得．即．解得IQ＝2(3－t)．

∴S_陰＝S_△IQA－S_△VQA＝×(3－t)×2(3－t)－(3－t)²＝(3－t)²＝t²－3t＋．

綜上所述：s＝