Question

【題目】在平面直角坐標系中，點為軸上的動點，點為軸上方的動點，連接，，．

（1）如圖1，當點在軸上，且滿足的角平分線與的角平分線交于點，請直接寫出的度數；

（2）如圖2，當點在軸上，的角平分線與的角平分線交于點，點在的延長線上，且滿足，求；

（3）如圖3，當點在第一象限內，點是內一點，點，分別是線段，上一點，滿足：，，．

以下結論：①；②平分；③平分；④．

正確的是：________．（請填寫正確結論序號，并選擇一個正確的結論證明，簡寫證明過程）．

Answer 1

【答案】（1）135°，（2）2；（3）②③④，理由見詳解

【解析】

（1）根據三角形內角和定理（三角形的內角和是180°）和角平分線定理可求∠P的度數，進而得到答案；
（2）根據三角形外角的性質和角平分線定理可求解，進而可以得到答案；
（3）過點P作PF⊥OA于點F，過點P作PE⊥OB于點E，根據全等三角形的性質和角平分線性質，可求解．

解：(1) ∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AP平分∠OAB，BP平分∠OBA，

∴，

∴，

∴；

(2) ∵BC平分∠ABO，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

(3) 如圖，連接OP，過點P作PF⊥OA于點F，過點P作PE⊥OB于點E，

∵∠ONP+∠OMP=180°，且∠OMP+∠PMF=180°，
∴∠PNO=∠PMF，且PN=PM，∠PEO=∠PFO=90°
∴△PEN≌△PMF（AAS）
∴PE=PF，且PE⊥OB，PF⊥OA
∴OP平分∠AOB，
如上圖，作BH平分∠OBA，交OP延長線于點H，連接AH，
∵BH平分∠OBA，OH平分∠BOA，
∴AH平分∠OAB

∴，

∴，

∴，

∴點H與點P重合，
∴AP平分∠OAB；BP平分∠OBA，
故②③正確，
∵PE=PF，OP=OP
∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL）
∴OE=OF，且OM＜OF=OE＜ON
故①錯誤
如上圖，在AB上截取AQ=AM，
∵AM=AQ，∠OAP=∠BAP，AP=AP
∴△MAP≌△QAP（SAS），
∴∠PMA=∠PQA，
∴∠ONP=∠AQP，
∴∠BNP=∠BQP，且BP=BP，∠OBP=∠ABP，
∴△BPN≌△BPQ（AAS），
∴BN=BQ，
∴AB=AQ+BQ=AM+BN，
故④正確
故答案為：②③④．