Question

已知在2010個互不相等的有理數中，每2009個數的和都是分母為4022的既約真分數，求這2010個有理數的和．

Answer 1

分析：先設2010個互不相等的有理數分別為x₁，x₂，…，x₂₀₁₀，再根據每2009個數的和都是分母為4022的既約真分數得到關于x的方程組，把方程組中的方程相加即可得到x₁+x₂+…+x₂₀₁₀的值．

解答：解：設2010個互不相等的有理數分別為x₁，x₂，…，x₂₀₁₀，不妨設

x1+x2+…+x2009= 1 4022 ① x2+x3+…+x2010= 3 4022 ② x3+x4+…+x2010+x1= 5 4022 ③ … x2010+x1+…+x2008= 4021 4022

①+②+③+…+2010，得，
2009（x₁+x₂+…+x₂₀₁₀）=

1+3+5+…+2009+2013+…+4021

4022

，
=

1

4022

[

(1+4021)×2011

2

-2011]=

1

4022

（2011×2011-2011），
=

1

4022

×2011（2011-1）=1005，
∴x₁+x₂+…+x₂₀₁₀=

1005

2009

．

點評：本題考查的是整數問題的綜合運用，根據題意設出所求的2010個互不相等的有理數，再得到關于x的方程組是解答此題的關鍵．